Математическое объяснение дюрации и конвекции >

Существует математическая связь между ценой обыкновенной облигации и ее доходностью. Цена облигации определяется как:

 

Цена облигации - формула

 

где

 

P – цена облигации

C – купонная выплата в денежном выражении

y – ставка дисконтирования, при которой цена облигации равна текущей стоимости потоков

N – номинальная стоимость облигации

t – количество периодов до погашения

 

Периодические купонные платежи (C) и номинал (N) дисконтируются по доходности к погашению (y). Дюрация и конвекция несут за собой расчет изменения цены бумаги, dP, вследствие изменения доходности к погашению, dy. Такой расчет предполагает разложение в ряд Тейлора.

 

Ряд Тейлора может состоять из нескольких степенных членов в зависимости от требуемой степени точности. Для облигации достаточно первых двух членов:

 

Изменение цены облигации

 

Изменение цены определяется как первая частная производная цены облигации, умноженная на изменение доходности, плюс половина второй частичной производной, умноженной на изменение доходности в квадрате. Первый член уравнения представляет дюрацию, второй является ключевым для определения конвекции.

 

 

Дюрация Маколея и Модифицированная дюрация

 

Дюрация Маколея - формула

Дюрация Маколея - расчет

 

Дюрация Маколея - подробный расчет

Дюрация Маколея облигации

 

или

 

Дюрация Маколея - результат

 

Это выражение было описано канадским экономистом Фредериком Маколеем в его работе о доходностях облигаций США и рынке акций между 1857 и 1936 годами. Знак минус является частью определения дюрации. Первая частная производная имеет отрицательное значение из-за обратной связи между ценой и доходностью. Поэтому знак минус дает дюрации Маколея положительное значение.

 

Однако профессиональные трейдеры и инвесторы придают большее значение модифицированной дюрации.

 

Модифицированная дюрация - формула

 

Модифицированная дюрация показывает изменение цены облигации в процентном выражении при движении доходности облигации на один базисный пункт (0,01%) или на один процент (1%).

 

DV01 = Модифицированная дюрация (0,01%) x P = –  dP/dy

 

 

Конвекция

 

Конвекция облигации определяется как 2-ая частная производная.

 

Конвекция облигации

 

Конвекция в денежном выражении:

Конвекция ($) = Конвекция (%) x P

 

 

Вывод

 

Формулы дюрации и конвекции